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中高教員採用試験数学 (専門)

「中高教員採用試験数学 (専門)」の記事一覧

n次正方行列 A が対角化可能であるとき、A の最小多項式について言えることはどれか。

行列が対角化可能であるための必要十分条件は、最小多項式が相異なる一次式の積となることである。

2026年4月17日

複素数 z に対して sin z を指数関数で表すとどれか。

オイラーの公式 e^iz = cos z + i sin z から導かれる定義式である。

2026年4月17日

三角形の3辺を a, b, c とし、内接円の半径を r とするとき、面積 S は。

3つの三角形に分割して面積を合計すると S = (1/2)ra + (1/2)rb + (1/2)rc となる。

2026年4月17日

指数分布の密度関数 f(x) = λ e^(-λx) (x >= 0) の平均（期待値）はいくらか。

指数分布の期待値はパラメータ λ の逆数である。

2026年4月17日

群 G の元 a の位数が 6 であるとき、a^4 の位数はいくらか。

位数は n / gcd(n, k) = 6 / gcd(6, 4) = 6 / 2 = 3 である。間違い、3。

2026年4月17日

n^5 – n は常に何の倍数か。

フェルマーの小定理より n^5 ≡ n (mod 5) であるため、常に 5 の倍数である（実際は30の倍数）。

2026年4月17日

dy/dx + y = e^x の一般解はどれか。

1階線形微分方程式の解法（積分因子 e^x を掛ける）により導かれる。

2026年4月17日

無限級数 Σ[n=1 to ∞] 1/(n(n+1)) の和はいくらか。

部分分数分解 1/n - 1/(n+1) により、途中の項が打ち消し合って 1 が残る。

2026年4月17日

極方程式 r = a(1 + cos θ) で表される曲線の名称は。

心臓形（カージオイド）の典型的な極方程式である。

2026年4月17日

∫[0 to 1] x^2 √(1 – x) dx の値はいくらか。

x = sin^2 θ と置換するか、ベータ関数 B(3, 3/2) を利用して計算する。

2026年4月17日