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中高教員採用試験数学 (専門)

「中高教員採用試験数学 (専門)」の記事一覧

x^2 ≡ -1 (mod 13) を満たす整数 x は存在するか。

13 は 4k+1 型の素数であるため、平方剰余の相互法則等により -1 は 13 を法として平方剰余である。

2026年4月17日

ハミルトン・ケーリーの定理において、n次正方行列 A が満たす多項式はどれか。

任意の正方行列は自身の固有多項式を満足する。

2026年4月17日

n! と n^n の極限において、n -> ∞ のとき n! / n^n はどこに収束するか。

n^n は n! よりも圧倒的に速く増大するため 0 に収束する。

2026年4月17日

環 R において、任意の a, b に対して ab = ba が成り立つとき、この環を何と呼ぶか。

乗法について交換法則が成り立つ環を可換環と呼ぶ。

2026年4月17日

ガウス・ボネの定理が関連付けている2つの概念はどれか。

曲面の幾何学的な曲率の積分と位相的な性質（オイラー標数）を結びつける定理である。

2026年4月17日

関数 f(z) = e^z の周期はいくらか。

e^(z + 2πi) = e^z * e^(2πi) = e^z * 1 より 2πi が基本周期となる。

2026年4月17日

集合 A から B への写像 f が全単射であるとき、逆写像 f^-1 が存在するための条件はどれか。

全単射であることは逆写像が存在するための必要十分条件である。

2026年4月17日

不偏分散を求める際、偏差平方和を何で割るか（サンプルサイズを n とする）。

不偏性を確保するために自由度である n - 1 で割る必要がある。

2026年4月17日

行列 A が対角化可能であるための必要十分条件はどれか。

固有ベクトルが空間の基底をなすとき、またそのときに限り対角化が可能である。

2026年4月17日

関数 f(x) = sin x の x = 0 におけるテイラー展開（マクローリン展開）の x^3 の係数はいくらか。

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... より係数は -1/6 である。

2026年4月17日