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実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)

「実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)」の記事一覧

確率変数 $X$ が自由度 $k$ の指数分布に従うとき、その期待値はいくらか。

指数分布（パラメータ $\lambda=k$）の期待値はパラメータの逆数である。

2026年4月27日

選択公理と論理的に同値な命題はどれか。

選択公理、ツォルンの補題、整列可能定理はすべて互いに同値である。

2026年4月27日

広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ の値として正しいものはどれか。

ディリクレ積分として知られる有名な広義積分の値である。

2026年4月27日

リーマンの写像定理によれば、単連結な開集合（全平面を除く）は何に等角写像できるか。

複素平面全体を除く任意の単連結領域は単位円板に等角に写せる。

2026年4月27日

行列の反復解法において、ヤコビ法が収束するための十分条件はどれか。

各行の対角成分の絶対値が他の成分の和より大きければ収束が保証される。

2026年4月27日

正規行列 $A$ ($AA^* = A^*A$) が満たす性質として正しいものはどれか。

複素正方行列がユニタリ行列によって対角化可能であるための必要十分条件は、正規行列であることである。

2026年4月27日

ガウス曲率 $K$ が正で一定である閉曲面はトポロジー的に何と同相か。

正の一定曲率を持つ完備な曲面は球面である（マイヤーの定理の関連）。

2026年4月27日

ベクトル場 $\mathbf{F} = (-y, x, 0)$ の回転 $\text{rot }\mathbf{F}$ を求めなさい。

定義式に従い $\partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y = 1 - (-1) = 2$ となる。

2026年4月27日

関数列 $f_n(x) = \frac{x}{1+nx^2}$ の $(-\infty, \infty)$ における一様収束性を述べなさい。

最大値を求めると $1/(2\sqrt{n})$ であり、$n \to \infty$ で $0$ に収束するため一様収束する。

2026年4月27日

多項式 $x^2 + 1$ が有理数体 $\mathbb{Q}$ 上で既約であることを示唆する性質はどれか。

低次多項式において、体の中に根を持たないことは既約であるための必要十分条件である。

2026年4月27日