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日本数学オリンピック予選

「日本数学オリンピック予選」の記事一覧

ヘロンの公式において、三辺が $a, b, c$ のとき $s$ はどのように定義されるか。

ヘロンの公式の $s$ は周長の半分 $(a+b+c)/2$ である。

2026年5月3日

$x^2 + y^2 = 1$ のとき $x+y$ の最大値はいくつか。

シュワルツの不等式または三角関数の合成により √2 となる。

2026年5月3日

$n$ 角形の対角線の本数はいくつか。

n箇所の頂点から2つ選ぶ組合せnC2から、辺の数nを引くと求まる。

2026年5月3日

三角形の五心のうち、各辺の垂直二等分線が交わる点はどれか。

三角形の外接円の中心である外心は、各辺の垂直二等分線の交点である。

2026年5月3日

$x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ を因数分解したとき、現れる因数はどれか。

有名な因数分解公式 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) である。

2026年5月3日

$2^{2^n} + 1$ の形の数を何と呼ぶか。

フェルマーが素数と予想した 2^(2^n)+1 の形の数をフェルマー数と呼ぶ。

2026年5月3日

正方形ABCDの内部に点Pがあり、PA=1, PB=2, PC=3 のとき∠APBは何度か。

点Bを中心に△ABPを90度回転させる手法等により、∠APB=135度が導かれる。

2026年5月3日

1, 2, …, n の順列 $p_1, …, p_n$ で $p_i \neq i$ を満たすものの数を何と呼ぶか。

すべての要素が元の位置にいない順列を完全順列（攪乱順列）と呼ぶ。

2026年5月3日

$f(x) = x^2 – ax + a$ がすべての実数 $x$ で正となる $a$ の範囲は。

判別式 D = a^2 - 4a < 0 を解くと 0 < a < 4 となる。

2026年5月3日

$x^2 + y^2 = 3(z^2 + w^2)$ の整数解 $(x, y, z, w)$ はいくつあるか。

3を法とする平方剰余の検討から、無限降下法により(0,0,0,0)のみが導かれる。

2026年5月3日