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日本数学オリンピック予選

「日本数学オリンピック予選」の記事一覧

$n^4 + 4$ が素数となるような自然数 $n$ はいくつあるか。

n=1のとき5(素数)だが、n>1ではソフィー・ジェルマンの恒等式により合成数となる。

2026年5月3日

座標平面上で点(1, 2)を通り、傾き3の直線の方程式はどれか。

y-2 = 3(x-1) を整理すると y=3x-1 となる。

2026年5月3日

5枚のカード 1, 1, 2, 2, 3 を並べてできる5桁の整数はいくつあるか。

5! / (2! 2!) = 120 / 4 = 30通りとなる。

2026年5月3日

$p, p+2$ がともに素数である（双子素数）組のうち、$p < 20$ を満たすものは何組あるか。

(3,5), (5,7), (11,13), (17,19) の4組である。

2026年5月3日

$x$ の方程式 $ax = b$ がただ一つの解を持つ条件はどれか。

a=0の場合は解がないか無数にあるため、ただ一つの解を持つにはa≠0が必要十分である。

2026年5月3日

10段の階段を、1段または2段ずつ登る方法は何通りあるか。

フィボナッチ数列 $F_1=1, F_2=2, ..., F_{10}=89$ となる。

2026年5月3日

$a, b$ が正の実数で $a+b=2$ のとき、$ab$ の最大値はいくつか。

相加相乗平均の等号成立条件 $a=b=1$ のとき、最大値1をとる。

2026年5月3日

正四面体の一辺の長さが $a$ のとき、その体積はいくつか。

正四面体の体積公式は (√2/12)a^3 である。

2026年5月3日

三辺が 3, 4, 5 の三角形の内接円の半径はいくつか。

面積6 = (1/2)r(3+4+5) より 6 = 6r となり、r=1 となる。

2026年5月3日

$3^n > n^3$ が成り立たない最小の自然数 $n$ はいくつか。

n=3のとき 27 > 27 は成り立たず、n=1, 2 では成り立つため3である。

2026年5月3日