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日本数学オリンピック予選

「日本数学オリンピック予選」の記事一覧

$\log_{10} 2 = 0.3010$ とするとき、$2^{50}$ は何桁の整数か。

50 × 0.3010 = 15.05 より、15 < log10(2^50) < 16 なので16桁となる。

2026年5月3日

$x, y$ が正の整数のとき $1/x + 1/y = 1/2$ の解は何組あるか。

(x-2)(y-2)=4より、(3,6), (4,4), (6,3)の3組となる。

2026年5月3日

1辺 1 の正三角形に内接する円の半径はいくつか。

面積 (√3/4) = (1/2)r(1+1+1) より、r = √3/6 となる。

2026年5月3日

8人を3人、3人、2人の3グループに分ける方法は何通りあるか。

8C3 × 5C3 / 2! = (56 × 10) / 2 = 280通りとなる。

2026年5月3日

$f(x) = x^3 – 3x + 1$ の極大値はいくつか。

f'(x)=3(x-1)(x+1)よりx=-1で極大値をとり、f(-1)=-1+3+1=3となる。

2026年5月3日

$n^2+1$ が 3 で割り切れるような自然数 $n$ は存在するか。

整数を3で割った余りが0,1,2のとき、平方の余りは0,1,1であり、1を足しても0にはならない。

2026年5月3日

異なる5通りの色の絵具で、正四面体の各面を塗り分ける方法は何通りあるか。

5色から4色選ぶ5通りに対し、正四面体の彩色(4-1)!/3 = 2通りを掛けて10通りとなる。

2026年5月3日

$x^2 + y^2 = 2026$ を満たす整数の組 $(x, y)$ は存在するか。

4で割った余りを考えると平方数は0か1であり、和は0,1,2のいずれかで2026(余り2)は可能だが、本問の数値で…

2026年5月3日

三角形の辺の長さが $a, b, c$ で $a^2+b^2 < c^2$ のとき、角 $C$ はどのような角か。

余弦定理より cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab < 0 となるため、Cは鈍角である。

2026年5月3日

$7^{2026}$ の一の位の数字はいくつか。

7の累乗の一の位は7, 9, 3, 1の周期4で繰り返され、2026÷4の余り2より9となる。

2026年5月3日