HOME
日本数学オリンピック予選

「日本数学オリンピック予選」の記事一覧

10人を2人ずつの5組に分ける方法は何通りあるか。

10! / (2^5 * 5!) = 945通りとなる。

2026年5月3日

$n^2 + 3n + 5$ が $121$ の倍数になるような自然数 $n$ は存在するか。

(2n+3)^2 + 11 が121の倍数になる条件を考えると矛盾が生じる。

2026年5月3日

チェバの定理において、三角形の3本のチェバ線が1点で交わるとき、各辺の比の積はいくらか。

チェバの定理により、3つの線分比の積は1になる。

2026年5月3日

$x + y + z = 6, xy + yz + zx = 11$ のとき $x^2 + y^2 + z^2$ はいくつか。

(x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = 36 - 22 = 14 と計算される。

2026年5月3日

円周上に並んだ10個の点から3個を選んで三角形を作る際、どの2点も隣り合わない選び方は何通りか。

10C3から隣り合う場合を除くと10(10-4-2)/3の計算等により50通りとなる。

2026年5月3日

正の約数の個数が15個である最小の自然数はいくつか。

約数の個数が15=(2+1)(4+1)より、p^2*q^4の形で最小のものは3^2*2^4=144である。

2026年5月3日

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき $\alpha\beta\gamma$ はいくつか。

解と係数の関係より、3根の積は定数項にマイナスをつけた-c/1である。

2026年5月3日

三角形の各頂点から対辺に下ろした3本の垂線が1点で交わる点を何というか。

各頂点から対辺への垂線の交点は垂心と呼ばれる。

2026年5月3日

$n^5 – n$ が常に $30$ の倍数であることを示すのに用いられる定理はどれか。

フェルマーの小定理よりn^p-nはpの倍数であり、30=2×3×5の各素因数で割り切れる。

2026年5月3日

$n$ が偶数のとき、$n(n^2+20)$ は必ず何の倍数になるか。

n=2kを代入し、連続する3整数の積の性質を利用すると48の倍数であることが示せる。

2026年5月3日