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実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)

「実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)」の記事一覧

中心極限定理において、サンプルサイズ $n$ が大きいとき、標本平均 $\bar{X}$ の分散はどう変化するか。

標本の個数が増えるほど標本平均のばらつきは小さくなる。

2026年4月27日

ラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{t f(t)\}$ は $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ を用いてどう表されるか。

$t$ を掛けることは $s$ 領域での微分と符号反転に対応する。

2026年4月27日

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ の値を求めなさい。

不定積分 $\arctan x$ において $x \to \infty$ で $\pi/2$、$x=0$ で 0 となる。

2026年4月27日

開写像定理によれば、定数でない正則関数による開集合の像はどのような集合になるか。

正則関数は領域（連結開集合）を領域に写す性質を持つ。

2026年4月27日

$f(x,y)$ のヘッセ行列が $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ である点 $(a,b)$ の性質として正しいものはどれか。

固有値がすべて正（正定値）であるため、停留点であれば極小点となる。

2026年4月27日

行列 $A$ がユニタリ行列であれば、その固有値 $\lambda$ の絶対値 $|\lambda|$ は常にいくらか。

ユニタリ行列は長さを保存する変換であるため、固有値は複素平面上の単位円上にある。

2026年4月27日

ヘルムホルツの分解定理によれば、十分滑らかなベクトル場はどのような2つの成分の和で表せるか。

任意のベクトル場はスカラーポテンシャルの勾配とベクトルポテンシャルの回転の和で書ける。

2026年4月27日

反復法において、誤差 $e_{k+1}$ が $C e_k$（$C < 1$）の割合で減少するときの収束の種類を何というか。

誤差が前ステップの定数倍で減少する最も基本的な収束形式である。

2026年4月27日

巡回群 $G = \langle a \rangle$ において、要素 $a^k$ の位数が $G$ の位数 $n$ と等しくなるための条件はどれか。

$k$ が $n$ と互いに素なときに限り、$a^k$ は群の生成元となる。

2026年4月27日

リッカチの微分方程式 $y’ = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)$ において、1つの特解 $y_1$ が既知のとき、どのような置換で線形化できるか。

この置換により $u$ に関する1階線形微分方程式に帰着できる。

2026年4月27日