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実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)

「実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)」の記事一覧

確率変数の独立性の十分条件として、同時密度関数 $f(x,y)$ が周辺密度関数の積 $g(x)h(y)$ に分解されることが挙げられるか。

確率密度の積への分解は、確率変数の独立性の定義と等価である。

2026年4月27日

ウィルソンの定理によれば、$p$ が素数であるとき $(p-1)!$ は $p$ を法として何に合同か。

$(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ は $p$ が素数であるための必要十分条件でもある。

2026年4月27日

2重積分 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^2} dy dx$ の積分順序を入れ替えた形を求めなさい。

領域が $0 \le x \le y \le 1$ となるため、外側を $y$ で積分するように書き換える。

2026年4月27日

一致の定理によれば、領域 $D$ で正則な2つの関数が $D$ 内の集積点を持つ集合上で一致するとき、何がいえるか。

正則関数の非常に強力な一意性を示す定理である。

2026年4月27日

$f(x,y) = \ln(x^2+y^2)$ の原点以外におけるラプラス方程式 $\Delta f = 0$ の成否を述べなさい。

2次元の対数ポテンシャルは、原点を除く平面上で調和関数である。

2026年4月27日

行列 $A$ がベキ等行列 ($A^2 = A$) であるとき、その固有値の候補をすべて挙げなさい。

$\lambda^2 = \lambda$ という代数方程式の解は 0 と 1 のみである。

2026年4月27日

ガウス曲率 $K$ が負の定数である曲面の幾何学を何と呼ぶか。

非ユークリッド幾何学の一種で、負の定曲率を持つモデルに対応する。

2026年4月27日

連立一次方程式の直接解法において、行列を $L$（下三角）と $U$（上三角）の積に分解する手法を何というか。

前進代入と後退代入により計算を効率化する標準的な行列分解法である。

2026年4月27日

関数 $f(x)$ が開区間で $n$ 回微分可能であるとき、テイラーの定理における剰余項の「ラグランジュの形」に含まれる導関数は何階か。

$n$次多項式近似の誤差を表す剰余項には、$n+1$階の導関数が用いられる。

2026年4月27日

体 $F$ の拡大体 $L$ において、拡大次数 $[L:F]$ が素数であるとき、中間体 $M$ ($F \subset M \subset L$) について何がいえるか。

次数に関する積の公式 $[L:F] = [L:M][M:F]$ において、素数は 1 と自身以外に約数を持たないため。

2026年4月27日