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実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)

「実用数学技能検定 (数検) 1級 (大学程度)」の記事一覧

関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であれば、その区間で何を持つか。

最大値最小値の定理により、有界閉区間上の連続関数は必ず最大値と最小値をとる。

2026年4月27日

一次分数変換（メビウス変換） $w = (az+b)/(cz+d)$ が写す図形はどれか。

メビウス変換は複素平面上の「円円（直線を含む円）」を円円に写す性質を持つ。

2026年4月27日

ユニタリ行列 $U$ の性質として正しいものはどれか。

随伴行列（共役転置）が逆行列に等しい行列をユニタリ行列と呼ぶ。

2026年4月27日

確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるとき、共分散 $\text{Cov}(X, Y)$ はいくらか。

独立であれば相関はなく、共分散は必ず 0 になる。

2026年4月27日

単位円板内で正則な関数が定数でないとき、その絶対値が最大値をとる場所はどこか。

最大値の原理により、正則関数の絶対値の最大値は領域の境界上に現れる。

2026年4月27日

関数 $f(x) = \sin x / x$ の $x \to 0$ における極限値を求めなさい。

シンク関数の基本極限であり、ロピタルの定理等でも導出できる。

2026年4月27日

ガウス・ボンネの定理は、曲面のガウス曲率の積分と何を結びつけるか。

閉曲面上の全曲率は $2\pi \times$（オイラー標数）に等しい。

2026年4月27日

ラグランジュの定理によれば、有限群 $G$ の部分群 $H$ の位数について何がいえるか。

部分群の位数は必ず親の群の位数の約数になる。

2026年4月27日

ストークスの定理は、線積分をどのような積分に変換するか。

閉曲線上の線積分が、その曲線を境界とする曲面上の回転（rot）の面積積分に等しいことを示す。

2026年4月27日

積分因子を用いて $y’ + y = x$ を解く際、用いるべき積分因子 $\mu(x)$ はどれか。

$e^{\int 1 dx} = e^x$ を方程式全体に掛けることで左辺を積の微分形式にできる。

2026年4月27日